Propiedades de esperanza matemática, varianza y desviación estándar.

Propiedades de la muerte esperanza matemática, varianza y desviación estándar.

Propiedades de esperanza matemática.

1. El valor esperado de una constante en igual a ella misma: E(X)=X. Ejemplo:

X=3 ;  E(X) = 3

2. Si  X e Y son variables aleatorias: E(X + Y) = E(X) + E(Y). Ejemplo:

E(X) = 1                        E(Y) = 3

E(1X + 2Y + 1)

E(1.1 + 2.3 + 1) = 1 + 6 + 1 = 8

3. El valor esperado del producto de una constante por una variable aleatoria, es igual al producto de la constante por el valor esperado de la variable: E(C · X)  =  C · E(X). Ejemplo:

C = 2                               E(X) = 3

3 · E(X) = 2 · 3 = 5 

4. Si las variables anteriores, X y Y son variables aleatorias independientes ocurre que el valor esperado de su producto es igual al producto de sus valores esperados:

E(Y) = E(X) E(Y) Ejemplo:

E(5.4)= E(5).E(4)  E

Propiedades De La Varianza.

1. La varianza mide la dispersión, por lo tanto en una constante esta es 0. Ejemplo:

C=87

V(C) = 0

V(87) = 0

2. La varianza del producto de una constante por una variable, es igual a la constante  al cuadrado por la varianza de la variable. V(CX) = C2 V(X). Ejemplo:

C= 7  ,  X= 5

V(C.X) = C².V(X)

V(7.5) = 7² . V(5)

V(35) = 49 . V(5)

245  =  245   

3. Si  X e Y son variables aleatorias cualquieras:  V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2CoV(X,Y)

Teniendo en cuenta que la covarianza de dos variables independientes es igual a cero. Si X y Y son dos variables independientes  Cov(X,Y) = 0 entonces V(X + Y)  =  V(X) + V(Y)

La varianza de la suma de dos variables independientes es igual a la suma de las varianzas. Ejemplo:

V(X) = 3,87 ; V(Y) = 4,57

       V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2CoV(X,Y)

      V(X + Y) = 3,87 + 4,57 + 2.0

      V(X + Y) = 8,44

4. Si  X y Y son variables aleatorias cualquieras: V(X + Y) = V(X) + V(Y)  - 2CoV(X,Y). Ejemplo:

V(X) = 3,5 ; V(Y) = 4,5

      V(X + Y) = V(X) + V(Y) - 2CoV(X,Y)

      V(X + Y) = 3,5 + 4,5 - 2.0

      V(X + Y) = 8

Propiedades de la Desviación Estándar. 

1. La desviación estándar será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales. DE(C) =√ 0. Ejemplo:

(C = 5)

DE(C) = √0

DE(5) = 0

2. La raíz cuadrada de la varianza del producto de una constante por una variable, es igual a la raíz cuadrada de la constante  al cuadrado por la varianza de la variable.                 V(CX) = √C2 V(X). Ejemplo:

 V(X)=2 ; C=4

 

V(C·X) =  √C2 V(X)                                        

             = √42  · V(2)

             =√ 16 · V(2)

             = √32 = 5,6568

3. Si  X e Y son variables aleatorias cualquieras: DE(X + Y) =√ V(X) + V(Y) + 2CoV(X,Y). Teniendo en cuenta que la covarianza de dos variables independientes es igual a cero. Si X e Y son dos variables independientes  Cov(X,Y) = 0 por lo tanto:

           DE(X + Y)  = √ V(X) + V(Y)

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza de la suma de dos variables independientes es igual a la suma de las varianzas.

V(X) = 3,87 ; V(Y) = 4,57

       DE(X + Y) = √V(X) + V(Y) + 2CoV(X,Y)

      DE(X + Y) =√ 3,87 + 4,57 + 2.0

      DE(X + Y) = √8,44 = 2,9051

4. Si  X e Y son variables aleatorias cualquieras : V(X + Y) = √V(X) + V(Y)  - 2CoV(X,Y)

V(X) = 3,5 ; V(Y) = 4,5

      V(X + Y) = √V(X) + V(Y) - 2CoV(X,Y)

      V(X + Y) = √3,5 + 4,5 + 2.0 

      V(X + Y) = √8 = 2,8284

POR FIN!!